Приближенный расчет дальнего вихревого следа самолета

Образовавшийся при полете вихревой след неустойчив, он свора­чивается в два вихревых жгута противоположного вращения. Дан­ная задача не может быть решена в рамках линейной теории. Для ее решения используем приближенный прием [8, 84], который состоит в том, что сходящая с самолета вихревая пелена полагается двумерной, т. е. неизменной вдоль продольной координаты —то < х < то (см. гл. З). Тогда ее сворачивание в два вихревых жгута может быть рассчитано в рамках двумерной нестационарной задачи. В итоге получаем развитие во времени вихревых жгутов дальнего вихревого следа. Кроме того, определяем параметры этих вихревых жгутов: их форму, распределение скоростей uy и uz внутри них.

Таким образом, установившийся процесс сворачивания трехмер­ной вихревой пелены за самолетом полагается эквивалентным неуста­новившемуся процессу сворачивания двумерной вихревой пелены во времени t, причем t = х/Уж [84]. Для определения индуцированной скорости вихревого жгута на больших по отношению к его диаметру расстояниях необходимо определить положение двух центров вихревой системы (1.1), (2.1), координаты которых вычисляются как отноше­ние суммы произведений на соответствующие координаты циркуляций каждой из вихревых нитей, образующих жгут, к сумме этих циркуля­ций (аналогично для второго жгута):

Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования свидетельствуют о том, что циркуляции вихревых жгутов несколько уменьшаются со временем. Эта так называемая потеря циркуляции,

обусловленная, как указано во введении, диффузией завихренности из двух вихревых жгутов противоположного вращения. Для опреде­ления зависимости циркуляции от времени можно воспользоваться эмпирическими формулами [72, 73, 80]

где Гі и Г0 — соответственно текущие и начальные значения цирку­ляции первичных вихрей; t — время; q —среднеквадратичное значение пульсаций скорости в атмосфере; bi(t) — расстояние между центрами первичных вихрей 1 и 2 вдоль оси z; гі = (z — Zi)2 + (y — yi)2 1/2 — модуль радиуса-вектора точки с координатами z, у относительно вих­ря с координатами zi, yi; — коэффициент турбулентной вязкости;

C = 0,41 — эмпирический множитель [80].

Первый множитель в выражении (7.8) учитывает уменьшение цир­куляции при низкой турбулентности атмосферы, второй множитель — дополнительную потерю циркуляции, вызванную повышенной турбу­лентностью атмосферы. Среднее значение vi для вихревого жгута, согласно данным расчета и обработки натурного эксперимента [10], составляет vi ~ 0,25 м2/с. Индекс i соответствует номеру вихревых нитей, образующих вихревой жгут.

Первый множитель в формуле (7.8) может быть использован и для случая полета самолета вблизи земли, однако по мере приближения к земле первичные жгуты раздвигаются, т. е. расстояние между ними bi вдоль оси z увеличивается, и это следует учитывать при расчете.